Trojúhelník

Obsah:

konstrukce věty sss, sus, usu, Ssu
shodnost
obvod a obsah
úhly
trojúhelníková nerovnost
druhy trojúhelníků podle stran a úhlů
výška
těžnice
střední příčka
kružnice psaná
kružnice vepsaná
Thaletova kružnice

Konstrukce trojúhelníku

Konstrukce trojúhelníků (z umimeto):
věty sss, sus, usu, Ssu

Při složitějších příkladech využíváme věty o sestrojitelnosti trojúhelníků (kde s značí stranu a u úhel):

Věta sss — v trojúhelníku jsou dány délky všech stran, pro které platí trojúhelníková nerovnost.
Věta sus— v trojúhelníku jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu, který svírají (menší než 180°).
Věta usu — v trojúhelníku je dána délka jedné strany a velikosti 2 úhly k ní přiléhající (součet velikostí daných úhlů je menší než 180°).
Věta Ssu — známe velikosti dvou stran trojúhelníka a velikost úhlu proti větší z těchto stran (velikost zadaného úhlu je menší než 180°).

Tyto věty také používáme při určení shodnosti trojúhelníků.

Shodnost (z umimeto):

Dva geometrické útvary jsou shodné, pokud mají stejný tvar a velikost. Na následujícím obrázku mají shodné útvary stejnou barvu.

Značení

Mějme dva pojmenované útvary, např. dva trojúhelníky $A B C$ a $G E F$ .

$∣ A B ∣ = ∣ G E ∣$
$∣ B C ∣ = ∣ E F ∣$
$∣ A C ∣ = ∣ G F ∣$

Tyto dva trojúhelníky mají stejné délky stran, jsou tedy shodné. Zapíšeme jako $A B C ≅ G E F$ – pozor, na pořadí písmen záleží. Pořadí písmen v názvu trojúhelníku určuje, který vrchol $A B C$ odpovídá kterému vrcholu trojúhelníku $G E F$ . Máme $∣ A B ∣ = ∣ G E ∣$ , ale $∣ A B ∣ \neq = ∣ E F ∣$ , takže $A B C ≆ E F G .$

Obvod a obsah trojúhelníku

Vytiskni nebo opiš si tuto pomůcku pro výpočet obvodu a obsahu trojúhelníku.

Obsah trojúhelníku spočítáme jako součin délky libovolné strany trojúhelníka a výšky příslušné k této straně, takže:

S△=12⋅a⋅va=12⋅b⋅vb=12⋅c⋅vc

Což si můžeme představit jako polovinu obsahu obdélníku, ve kterém je náš trojúhelník takto vepsán:

Úhly v trojúhelníku

Součet vnitřních úhlů v jakémkoliv trojúhelníku v rovině je vždy 180 stupňů. Tato základní geometrická vlastnost platí pro všechny typy trojúhelníků (ostroúhlé, tupoúhlé i pravoúhlé) a umožňuje snadno dopočítat třetí úhel, pokud jsou známy dva úhly ostatní.

Trojúhelníková nerovnost

Pro strany a, b, c trojúhelníku ABC platí: a+b>c, b+c>a, c+a>b. Pokud platí všechny tři nerovnosti zároveň, lze trojúhelník BC sestrojit.

Druhy trojúhelníků

podle délky stran

podle velikosti úhlů

Obecný trojúhelník
Žádné dvě strany trojúhelníku nemají stejnou délku.
Rovnoramenný trojúhelník
Trojúhelník, jehož dvě strany mají stejnou délku, se nazývá rovnoramenný trojúhelník.
Dvě strany trojúhelníku, které mají stejnou délku, se nazývají ramena rovnoramenného trojúhelníku (a=b), třetí strana se nazývá základna (c). Vnitřní úhly ležící při základně rovnoramenného trojúhelníku jsou shodné.
Rovnostranný trojúhelník
Všechny tři strany mají stejnou délku (a=b=c). Všechny tři vnitřní úhly jsou shodné a velikost každého vnitřního úhlu je 60°.

Ostroúhlý trojúhelník
Všechny tři vnitřní úhly jsou ostré (menší než 90°)
Tupoúhlý trojúhelník
Jeden úhel je tupý (větší než 90° a menší než 180°), zbývající dva úhly jsou ostré.
Pravoúhlý trojúhelník
Jeden úhel je pravý (=90°) a zbývající dva úhly jsou ostré (menší než 90°).

Výška trojúhelníku

Výškou trojúhelníku se nazývá úsečka, jejímž jedním krajním bodem je vrchol trojúhelníku a druhým krajním bodem je pata kolmice sestrojené z tohoto vrcholu k přímce, na níž leží protější strana.
Každý trojúhelník má 3 výšky (z každého vrcholu jednu).
Průsečík přímek, na kterých leží výšky, se nazývá ortocentrum (značí se O).

Následující video ukazuje, jak vypadají výšky v ostroúhlém, tupoúhlém a pravoúhlém trojúhelníku.
Vysvětluje, co to je ortocentrum.
Pozn.: Ortocentrum je průsečík výšek v trojúhelníku.

Těžnice trojúhelníku

Těžnice trojúhelníku je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a střed strany protější k tomuto vrcholu.
Každý trojúhelník má 3 těžnice (z každého vrcholu jednu).
Průsečík těžnic se nazývá těžiště (značí se T).
Těžnice leží vždy uvnitř trojúhelníku a dělí každou těžnici v poměru 2:1.

Zjisti z videa, jaká je speciální vlastnost těžiště a zapiš si odpoveď do portofilia.
Připiš si k tomu i fyzikální vlastnost:

Fyzikální význam: Pokud by byl trojúhelník homogenní deska, těžiště je bod, ve kterém by byl v rovnováze při podepření.

Střední příčka trojúhelníku

Střední příčka trojúhelníku je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku a se třetí stranou je rovnoběžná.
Každý trojúhelník má 3 střední příčky, které rozdělují trojúhelník na 4 shodné trojúhelníky.
Délka střední příčky trojúhelníku se rovná polovině délky strany, se kterou je rovnoběžná.

Kružnice opsaná trojúhelníku

Střed kružnice opsané trojúhelníku sestrojíme jako průsečík os stran daného trojúhelníku.
Poloměr kružnice je roven délce úsečky spojující střed kružnice a vrchol trojúhelníku.

Kružnice vepsaná trojúhelníku

Střed kružnice vepsané trojúhelníku sestrojíme jako průsečík os vnitřních úhlů daného trojúhelníku.
Střed kružnice vždy leží uvnitř trojúhelníku.

trojúhelníky